# 超导量子比特操控教学模型

本平台训练低温微波链路连接、热级衰减、IQ 校准、频谱测量、脉冲标定和单次读出。芯片和冷台固定；移动室温仪器只通过已连接电缆的长度、传播延迟、插入损耗及相位影响信号。移动衰减器至不同温级会改变线路热噪声；低温元件还需实际位于对应冷台附近，否则按室温器件计算。移动微波源不改变芯片的本征频率。

本模型用于计算与操作训练，不能替代真实设备的操作规程、制冷机培训、接地与微波安全培训。文中所有芯片参数和损耗参数都是教学设定值，未对应已标定实物。

## 连接模式与三维显示

默认预接线模式按安装设备的真实角色生成标准端口链路；缺少衰减器、混频器或放大链等设备时不会自动短接绕过。选择已经安装设备的另一规格，直接修改已接链路中的频率范围、带宽、衰减、增益或噪声参数，保留坐标与连接。高级手动模式可训练方向、端口类型与故障布线。预接线不自动开启任何输出，也不消除冷却和频率标定要求。

本平台没有自由空间微波光线。可见连接代表屏蔽同轴线、参考时钟或控制线；微波沿实际端口连接图传播，未连接设备不对芯片产生驱动。关闭输出后导线仍保留但弱化显示。连接点随仪器旋转，参数更新使用实际链路损耗、延迟和温级。制冷机内的线缆通过预留电馈通和热锚接口；弯曲路由是教学示意，未逐孔展开金属加工结构，也没有求解每段电缆与器件的机械绕障、最小弯曲半径或受力。有效长度按可见连接器端点间距、每根线 0.15 m 连接器与服务余量及显式额外长度计算，不把示意曲线弧长误当标定电缆长度。

## 操作与训练顺序

1. 放置低温系统、微波本振、AWG、IQ 混频器、读出源、环行器、低温放大器、采集卡、公共参考时钟、磁通偏置与 HEMT 直流偏置电源。
2. 接通驱动链 AWG → IQ 混频器，LO → 混频器本振输入，混频器 → 芯片驱动口。设置公共参考时钟。
3. 接通读出链：读出源 → 芯片谐振腔 → 环行器 / 低温放大链 → 采集卡；另将 HEMT 直流偏置电源接到放大器独立 bias 插座。按实际信号方向接线；完整链路由工作台连接结果决定。
4. 将衰减放置于合适温级，观察量子热占据和热激发布居。60 dB 衰减全部置于 4 K 与分布至末级的结果明显不同。
5. 从已经预冷的 100 mK 初态开始末级热平衡。确认芯片低于 80 mK，检查初始化布居。末级冷却的物理时间单位为秒，量子脉冲的单位为 ns / µs。
6. 扫描谐振腔复数 S₂₁，调读出探针频率和功率；使腔内光子数处于色散模型范围。
7. 扫描 LO + IF，比对量子比特频谱。用 Rabi 振荡标定 π / π/2 脉冲，再测 T₁、Ramsey、Hahn 回波。
8. 使用短高斯脉冲和 DRAG 正交分量检查 |2⟩ 泄漏。改变第二比特频率，使两比特共振，观察交换与纠缠。

冷却、驱动、读出、时钟、磁通和 HEMT 直流偏置输出默认关闭。HEMT 必须有实际 DC 偏置支路且输出开启；仅接 RF 两根线不会获得标称放大增益。无 HEMT 的手动旁路仍可测量，但接收噪声明显增大。未连接的链路不产生有效输出。读出链未连通时不会生成虚构采集曲线；温度尚未达到要求时可以测经典谐振腔 RF 响应，但脉冲实验会指出前置条件未满足。读出功率过小仍会显示高噪声测量结果，不自动提高信噪比。

## 芯片、磁通与色散读出

采用大 EJ/EC transmon 渐近公式：

- EJ(Φ)/h = EJ,max/h × √[cos²(πΦ/Φ₀) + d²sin²(πΦ/Φ₀)]。
- f₀₁ ≈ √[8(EJ/h)(EC/h)] − EC/h。
- α/2π ≈ −EC/h。
- χ/2π = g² α/[Δ(Δ+α)]，此式内 g、α 和 Δ 均使用相同的普通频率单位。
- ncrit = Δ²/(4g²)。

界面使用 GHz / MHz 标出普通频率，微分方程内部转换为弧度。设定磁通只有在偏置设备已连接且输出开启时生效；芯片固有磁通偏移不因断开电缆而消失。EJ/EC 低于 30 时不再生成量子脉冲数据；此时经典腔谱只显示裸腔响应，不能使用无效的渐近谱计算量子态条件频移。色散条件使用 min(|Δ|,|Δ+α|)>5g 检查；这些条件只是教学近似适用性检查。

归一化 hanger / notch 复数传输为：

S₂₁(f) = A exp[iφ − i2πfτ] × {1 − ηc/[1 + 2i(f − fr,state)/(κ/2π)]}。

ηc 为外耦合占比，A 为电缆幅度损耗，τ 为电缆传播延迟。参数 fr 是裸腔频率。三能级二阶微扰给出 fr,0=fr−g²/Δ，fr,1=fr+g²/Δ−2g²/(Δ+α)，且 (fr,1−fr,0)/2=χ/2π；这里 g、Δ 和 α 用相同的普通频率单位。不能将裸腔频率与两布居下腔频率的平均值混用。幅度与复数轨迹都由此式计算。未模拟封装寄生模、阻抗失配驻波、频率依赖的线缆损耗或完整芯片 Maxwell 场。

量子比特控制频率使用 transmon 渐近近似，未进一步加入真空腔耦合的 Lamb 位移或完整 Jaynes–Cummings 对角化。

芯片读出功率由室温源功率减去输入链设备衰减、输入电缆损耗及滤波器等前置插损获得。芯片输出至采集卡的电缆损耗不会改变芯片内的光子数。断开返回电缆或关闭 HEMT 偏置时，只取消接收测量，不会使输入探针已产生的腔光子数或 AC Stark 位移消失。输入与输出两段的总传播相位用于复数传输测量；读出链和驱动链分别计算传播延迟。稳态腔内光子数使用：

n̄ = (κext/2) Pchip / {hfprobe [ (κ/2)² + Δr² ]}。

κ 和 Δr 在此式中使用 rad/s。本平台采用对称双端 hanger 结构，κext 是两侧的总外耦合，输入端仅占 κext/2；不能套用全部外耦合均在同一端的反射腔公式。参数超出色散条件时，不再使用存在极点的色散公式；经典 RF 测量仅显示裸腔响应，并明确指出未计算量子态条件频移。建议 n̄<0.2ncrit；超出建议值时继续显示 RF 诊断数据，并明确线性色散模型不再支持可靠定量保真度结论。

## 末级热平衡与线路热噪声

初态是已经预冷的 100 mK。末级使用单一时间常数：

T(t) = Ttarget + (Tinitial − Ttarget) exp(−t/τthermal)。

默认 τthermal=90 s。该时间常数是教学设定，不是任何实际制冷机的降温速度。模型没有模拟室温到基温的多日降温、抽真空、压缩机、氦循环、冷功率曲线、热负载网络或磁屏蔽。

温度 T 的热占据 nB = 1/[exp(hf/kBT)−1]。线路每级功率衰减 L=10^(AdB/10) 后：

nout = nin/L + (1−1/L)nB(Tstage)。

从室温沿信号方向逐级计算。工作台提供实际串接顺序、热锚定状态、总衰减和输出等效热占据。低温滤波器的无源插损也加入该温级的热噪声。器件横向距离冷台轴线须不超过 70 mm，且 Z 与所选冷台差值不超过 12 mm；超出后按 300 K 计算。这是几何热锚定教学判据，未求解导热接触、电缆分布热噪声或热负载。若未提供这些设备信息，使用 4 K / 100 mK / 芯片温级各 20 dB 的明确后备配置。

mixing chamber 级衰减器的计算温度取实际芯片温度与标称温度的较大值，不会在尚未冷却时虚构为 20 mK。驱动与读出输入线分别进行热噪声级联。比特有效热浴使用芯片温度对应占据与两条线路输出占据的较大值；这是保守的单等效浴近似，不是多端口噪声谱仿真。两能级热平衡 Pe=n/(1+2n)，T₁,eff=T₁,0/(1+2n)，1/T₂=1/(2T₁,eff)+1/Tφ。末级热状态中的布居采用两能级近似；三能级泄漏实验独立计算相干 |2⟩ 激发。

## 驱动、IQ 误差与相位

有效输出频率取上边带 fdrive=fLO+fIF，不会在错误设置下自动回到 f₀₁。功率变化和连接损耗按电压幅度的平方根换算：Ω∝10^(PdBm/20)。默认混频器 RF 输出口标定功率 0 dBm、60 dB 驱动线衰减，对应 Ω/2π=20 MHz 的设定标定系数。此系数不是从微观耦合电容求得。驱动功率控件表示经 AWG 幅度标定后的混频器 RF 输出，不是 LO 端本振功率；后者假设处于混频器规定的工作电平。

I/Q 增益与正交相位误差由复数边带合成计算期望边带和镜像边带幅度；直流偏置产生本振泄漏。远失谐镜像和本振泄漏的 AC Stark 位移采用 Ωspur²/[2(fq−fspur)] 的微扰近似，仅在 |fq−fspur|>5Ωspur 时使用。红失谐杂散使跃迁频率上移，蓝失谐使其下移；失谐定义不能与驱动减比特的界面读数混用。未模拟任意 AWG 波形的完整射频时域混频。

“驱动期间保持读出探针”默认关闭。开启后，在脉冲演化中加入 2χn̄ 的色散 AC Stark 位移。此模型未额外模拟读出光子散粒引起的测量退相干；连续强读出参数只能作为频移与模型范围训练。

驱动相位分别累加 LO→混频器的 LO 频率传播相位、AWG→混频器的 IF 频率传播相位、混频器 RF→芯片的最终射频传播相位，再加脉冲设置角度。LO 的频率范围使用 LO 本身检查。LO 电缆不被当成最终 RF 衰减器；当前假定本振输入达到混频器标称驱动电平，未计算混频器转换损耗随本振功率的非线性变化。LO 与 AWG 须共用有效参考时钟；复数 S₂₁ 则只要求读出源与采集卡参考完整，因此驱动链断开不必阻止独立的经典腔谱。公共参考与触发定义相干基准，未模拟每台 PLL 的相噪谱。相位错误对以同轴脉冲准备和测量的简单 Rabi 布居可能不敏感；这符合实验结构，不会人为伪造布居变化。

## 十项实验的计算方法

| 实验 | 计算方法与可观察结果 | 主要操作 |
|---|---|---|
| 末级热平衡 | 温度随物理秒变化；热光子数与热布居 | 冷却输出、目标温度、衰减器温级 |
| 复数 S₂₁ | 两布居条件的 notch 幅度与 IQ 轨迹 | 读出接线、频率、功率、电缆长度 |
| 比特频谱 | 稳态 Bloch 饱和谱，包含功率展宽与有限次读出 | LO、IF、磁通、功率 |
| Rabi | 带热弛豫 / 退相干的 Bloch 方程 RK4 积分 | 驱动功率、脉宽、失谐 |
| Ramsey | 有限时长 π/2 脉冲 + 解析自由演化 + 准静态噪声平均 | 失谐、磁通甜点、噪声 |
| T₁ | 实际准备脉冲后的热平衡指数弛豫，随机读出及对数拟合 | π 脉冲校准、重复测量次数 |
| Hahn 回波 | π/2—τ/2—π—τ/2—π/2，反转准静态噪声 | 共振、脉冲功率、噪声类别 |
| DRAG | 旋转框架三能级 Duffing Schrödinger RK4 积分 | 高斯宽度、脉长、导数系数 |
| 双比特交换 | 常系数 XY 单激发密度矩阵的矩阵指数，含各比特弛豫与纯退相干 | 第二比特频率、耦合、作用时间 |
| 单次读出 | 条件腔响应、同协方差高斯 IQ 样本和判别概率 | 探针、积分、效率、热噪声 |

Bloch 方程对驱动段使用 RK4，对无驱动自由段使用解析的指数衰减与相位旋转。高失谐时自动缩小积分步长。准静态磁通噪声经 f₀₁ 的局部数值导数转成 σf，Ramsey 包络乘 exp[−(2πσfτ)²/2]；理想回波消除这一静态分量，但不会消除马尔可夫退相干和 T₁ 衰减。该线性噪声映射在磁通甜点恰好给零一阶敏感度，未包含二阶磁通噪声和完整 1/f 谱。回波最后分析脉冲相位反转 180°，使包络方向与 Ramsey 一致。

DRAG 采用 H/ℏ = Δa†a + αa†a(a†a−1)/2 + [Ω(t)a†+Ω*(t)a]/2，截断至三能级。I 是截断并扣除端点的高斯，Q=−β(dI/dt)/α；本平台的相位约定下最小泄漏常在负 β 附近。结果显示原始范数误差和 0.12 / 0.06 ns 步长对照，不进行归一化来掩盖积分误差。此实验未加入脉冲期间的耗散；并非完整门保真度计算。

Ramsey、Hahn 回波、T₁ 和 IQ 中的 |1⟩ 准备使用学生设置的矩形 π 脉冲时长，π/2 时长取其一半。Rabi 实验给出共振参考时长，但不会自动替后续序列修正脉宽。参考工作台采用 26 ns；误设为 4 ns 会显著降低准备激发布居。驱动链或公共时钟不完整时，不生成虚构的已准备 |1⟩ 点云。

交换实验使用 H/ℏ=(Δ/2)(|10⟩⟨10|−|01⟩⟨01|)+J(|10⟩⟨01|+h.c.)。交换计算的 Q1 激发概率来自当前实际矩形准备脉冲，剩余概率放入 |00⟩；Q2 假定已初始化为 |0⟩。错误脉宽或驱动失谐会降低可用单激发概率。独立函数的理想初态默认 |10⟩。共振 √iSWAP 的时间为 1/[8(J/2π)]，J/2π=5 MHz 时是 25 ns。对常系数单激发密度矩阵使用 3×3 矩阵指数（缩放、20 项 Taylor 展开与重复平方）演化，计算布居、相干项和 concurrence；弛豫将概率转移至 |00⟩。同样的两个比特各自具有 T₂ 时，|10⟩⟨01| 的相干衰减率是 2/T₂，而非额外乘上 1/T₁+1/T₂。纯弛豫极限 T₂=2T₁ 时，共振 25 ns 的 concurrence 为 exp(−t/T₁)，用作独立校验。零耦合零失谐也不产生除零。未模拟可调耦合器的实际偏置脉冲、非绝热误差、ZZ 串扰和多能级双比特泄漏，不能据此宣称真实门保真度。

单次读出的噪声按芯片入射探针幅度归一化：σ=√[(1+2nB)/(2η Nincident)]，Nincident=Pchip tint/(hfprobe)。以输入光子通量而非腔内光子数计算归一化噪声：失谐会改变腔响应与两态均值间距，不会在相同输入功率下凭空降低接收机噪声。即使两条件响应重合，IQ 样本仍有非零噪声。η 包含读出返回链的前置无源损耗、放大器输入等效附加热噪声和接收机噪声。放大器按信号方向逐级进行 Friis 输入折算，每级附加噪声温度 Tn 转为 kBTn/(hf) 光子；后级噪声除以前级功率增益。HEMT 后的无源线损及其热噪声也逐级计入。相位保持放大器的附加噪声不低于有限功率增益下 (1−1/G)/2 的量子极限，不能通过输入零噪声温度获得无噪声放大。默认接收机等效噪声温度为 300 K，可由设备环境覆盖；ADC 技术效率另乘。无 HEMT 时仍可采集，但室温接收噪声会使单次判别显著恶化，不自动隐藏 RF 信号。噪声温度参数是设备规格输入，未模拟任意温级下 HEMT 的实际噪声曲线。条件高斯判别保真度为 Φ(d/2σ)；热准备错误另以混合样本表示。读出中心由当前探针与复数 S₂₁ 计算，不使用固定预制图片。样本是静态高斯近似，不含真实 ADC 饱和、放大器压缩和器件非高斯噪声。为避免长积分忽略读出期间 T₁ 跃迁而虚报判别性能，量子脉冲与单次读出采集要求 tint<0.2T₁,eff；该比例是本教学模型的适用性判据，不是实物最佳积分时间。尚未展开积分过程中的随机跃迁与非高斯轨迹。

## 拟合、数据与复现

每个实验保存参数快照、状态物理时间、seed 和实际曲线点。固定 seed 与快照会生成相同的二项读出 / 高斯样本；重复调用不会推进冷却状态。采样层与模型期望曲线分别显示，不把解析参考值称为随机数据拟合结果。

- 腔频率：扫描网格的幅度极小值；有限频率分辨率。
- 比特谱：扫描内模型谱峰估计；中心设置错误时谱峰可能在范围边界。
- Rabi：去直流后的离散频率扫描，分辨率受总扫描时长约束。
- T₁：先校正已知混淆矩阵和热布居，再对高于噪声阈值的样本作对数线性回归，返回 R²；低信噪比时可能有偏差。
- Ramsey / Echo：显示设定失谐 / 马尔可夫 T₂ 的模型参考，不冒充拟合。
- DRAG / 交换：扫描网格中的最小泄漏 / 最大 concurrence，不是完整过程层析。

## 默认参考数值与独立校验

EJ/h=20 GHz、EC/h=0.25 GHz、零磁通，得到 f₀₁=6.0745553203 GHz，α/2π=−250 MHz。fr=6.5 GHz、g/2π=35 MHz，得到 χ/2π≈−1.06572 MHz，ncrit≈36.94，|0⟩ 腔频率约为 6.502879 GHz。κ/2π=2 MHz、外耦合占比0.75、室温读出源−75 dBm、总衰减60 dB、探针在 |0⟩ 腔共振时，n̄≈0.87603。这组数值用于独立公式检查。工作台“参考配置”采用室温读出源 −70 dBm、积分 5 µs，读出功率还会按当前真实走线和前置插损减少；系统效率由 HEMT / 接收链实际参数计算，不能沿用理想 η=0.35 的结果。

独立自动检查包括：SQUID 周期与对称性；Bose 高低温极限；同温衰减器平衡；不同衰减器温级的噪声差异；热平衡解析解；Rabi 与失谐 Rabi 解析解；T₁ / T₂ 解析极限；驱动功率与场幅的标度；电缆长度只改变传输相位和损耗；读出功率与光子数标度；积分时间与 SNR 的平方根标度；AC Stark 标度；三能级范数与步长收敛；DRAG 泄漏抑制；√iSWAP 的概率守恒与纠缠；失谐交换抑制；固定种子复现；硬件断链；随机 T₁ 拟合；mixing 级实际温度；独立驱动 / 读出相位；芯片功率只取输入链损耗；HEMT Friis 增益与噪声标度；色散极点的范围处理。


## 工作台完整链路复核

参考仪器位置、参考接线、末级平衡 1500 物理秒的集成检查得到：

| 量 | 数值 |
|---|---:|
| f₀₁ | 6.0745553203 GHz |
| 芯片驱动 Ω/2π | 19.053453 MHz |
| 末级温度 | 20.00000 mK |
| 热激发布居 | 0.00288884 |
| 读出腔光子数 | 2.268252 |
| 系统测量效率 | 约 0.025043 |
| 单次读出 SNR | 约 1.481180 |
| 条件高斯判别保真度 | 约 77.05% |

这些是当前教学硬件规格、信号线路、参考参数和噪声模型的计算结果，不是实验实测数据。仪器位置、温级、接线、源功率或积分时间改变后，结果会重新计算。集成测试另验证：移动本振不会改变独立读出相位；移动采集卡不会改变芯片腔光子数；HEMT 旁路后仍有 RF 数据但单次判别恶化；错误 π 脉宽降低真实准备布居；LO、IF 与 RF 按各自频率累计相位；衰减器误放至 4 K 提高热激发布居；设定相位只计算一次。

## 原始方法来源

以下文献用于模型公式与适用范围；它们不代表对本教学平台或虚拟设备参数的标定。

1. Koch et al., *Charge-insensitive qubit design derived from the Cooper pair box*, Physical Review A **76**, 042319 (2007), [DOI 10.1103/PhysRevA.76.042319](https://doi.org/10.1103/PhysRevA.76.042319), [作者预印本](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0703002)。
2. Blais et al., *Cavity quantum electrodynamics for superconducting electrical circuits: an architecture for quantum computation*, Physical Review A **69**, 062320 (2004), [DOI 10.1103/PhysRevA.69.062320](https://doi.org/10.1103/PhysRevA.69.062320), [作者预印本](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0402216)。
3. Blais et al., *Circuit quantum electrodynamics*, Reviews of Modern Physics **93**, 025005 (2021), [DOI 10.1103/RevModPhys.93.025005](https://doi.org/10.1103/RevModPhys.93.025005), [作者预印本](https://arxiv.org/abs/2005.12667)。
4. Krantz et al., *A quantum engineer's guide to superconducting qubits*, Applied Physics Reviews **6**, 021318 (2019), [DOI 10.1063/1.5089550](https://doi.org/10.1063/1.5089550), [作者预印本](https://arxiv.org/abs/1904.06560)。
5. Motzoi et al., *Simple pulses for elimination of leakage in weakly nonlinear qubits*, Physical Review Letters **103**, 110501 (2009), [DOI 10.1103/PhysRevLett.103.110501](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.103.110501), [作者预印本](https://arxiv.org/abs/0901.0534)。

## 2.0 版针对实际链路的补充检查

每根连接均重新核验端口方向、信号类型、端口存在性和输入唯一性。被篡改或导入的无效连接不会因设备名称正确就参与计算。无源器件仅允许从 in 传到 out；微波源、采集卡和芯片外壳不会充当任意端口之间的隐式跳线。驱动滤波器和读出滤波器分别作用于自身支路。源输出开关、器件启用、端口连通及设备规格均独立检查。

HEMT DC 偏置采用独立电源、端口和三维导线；关闭偏置或断开该线时，不再生成带有标称增益的测量结果。偏置电压/电流沿用集成的器件工作点，未模拟晶体管直流 I–V 曲线。

接收机到达功率采用芯片输入功率、当前态的透射功率和实际返回链净增益，不以室温源设定充当采集卡读数。仪器屏幕与快照应同时保留设定和有效链路条件。端口坐标与三维导线共用同一函数；显示曲线没有被当成已标定的物理缆长。

以下补充原始来源支持双端腔输入输出、低温衰减级联与微波接收噪声约定：

6. Probst et al., *Efficient and robust analysis of complex scattering data under noise in microwave resonators*, Review of Scientific Instruments **86**, 024706 (2015), [作者预印本](https://arxiv.org/abs/1410.3365)。
7. Krinner et al., *Engineering cryogenic setups for 100-qubit scale superconducting circuit systems*, EPJ Quantum Technology **6**, 2 (2019), [原文](https://doi.org/10.1140/epjqt/s40507-019-0072-0)。
8. Bardin, Slichter and Reilly, *Microwaves in Quantum Computing*, IEEE Journal of Microwaves **1**, 403–427 (2021), [作者全文](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC8335598/)。
9. 对称 hanger 输入输出推导与 κext/2 约定见 [ETH 学位论文附录 A](https://www.research-collection.ethz.ch/server/api/core/bitstreams/e39d51a4-1daf-4f75-b2a4-841c3a56323a/content)，式 A.1–A.4；本平台独立检验透射、反射与内部损耗的功率守恒。


## 2.0.1 机械支撑修订

光学台与室温仪器台现采用四气浮支座、三阀调平及柔性供气；稀释制冷机由独立落地架承重，与浮台开孔留有净隙。新增“支撑细节”观察视图。支撑渲染和遮挡共用几何，压力表仅示意；本次没有增加压力或振动动力学，也不改变本文物理核。结构、原厂来源和模型边界见 [支撑说明](ISOLATION.md)。

## 2.1.0 实际端接与设施修订

参考时钟为四个独立物理输出，I/Q画出双通道并按等长配对连接操作；室温至低温链经300 K馈通，所有仪器有固定供电/数据，制冷控制和供回气路分别表示。长度、相位和损耗按共享端点的可见折线路由加维护余量计算；新参考n̄约2.268252、Rabi频率19.053453 MHz、IQ预算SNR1.481180。固定服务图、未建模I/Q不平衡及布线边界见 `SERVICES_AND_VACUUM.md`。